Решить неравенство: logx-5 8>3

Log_ (x-5) 8>3

ОДЗ: x-5>0 (⇒ x>5); x-5≠1 (⇒x≠6)

(log_2 8) / log_2 (x-5) >3;

3/log_2 (x-5) >3;

1/log_2 (x-5) >1;

если log_2 (x-5) 0 (то есть x-5>1; x>6) ⇒неравенство можно домножить на него⇒

log_2 (x-5) <1; x-5<2; x<7

Ответ: (6; 7)

Замечание, Есть способ, как решить задачу намного проще.

Оказывается, неравенство log_a b> log_a c равносильно на ОДЗ неравенству

(a-1) (b-c) >0

Записываем наше неравенство в виде 3log_ (x-5) 2>3;

log_ (x-5) 2>log_ (x-5) (x-5);

(x-5-1) (2 - (x-5)) >0;

(x-6) (7-x) >0; x∈ (6; 7)

Метод рационализации

(x - 5 - 1) (8 - (x - 5) ^3) > 0

8 > 0

x - 5 > 0

x - 5 ≠ 1

(x - 6) (2^3 - (x - 5) ^3) > 0

x > 5

x ≠ 6

(x - 6) (x - 7) (x^2 - 8x + 19) < 0

x > 5

x ≠ 6

x ∈ (6; 7)