1-2sin ^2x/2 - sin2x/2sinx=

cos ^4t-sin ^4 (t+п) / ctgt-sin2t=

sin 2x = 2 sinx * cos x

выносим из числителя 2 sinx. lim (x->0) 2 sinx / х = 2

осталось вычислить lim (x->0) [cos x - 1 ] / ln cos (5x) неопределенность 0 на 0.

Проще всего по Лопиталю - вычислить производные числителя и знаменателя

Без Лопиталя

cos x - 1 = - 2 sin^2 (x/2)

ln cos (5x) = ln [1 + (cos 5x - 1) ] = ln [ 1 - 2 sin^2 (5x/2) ]

---> - 2 sin^2 (5x/2)

после подстановки имеем

lim (x->0) { - 2 sin^2 (x/2) } / { - 2 sin^2 (5x/2) } = lim (x->0) { x^2/4 * [ sin^2 (x/2) / (x/2) ^2} / { 25 x^2/4 * [sin^2 (5x/2) / (5x/2) ^2 }=

= lim (x->0) { x^2 / 25 x^2 } = 1/25

[ sin^2 (x/2) / (x/2) ^2}=1 [sin^2 (5x/2) / (5x/2) ^2 = 1

1 + (cos^4t+sin^2tcos^2t) / sin^2t=1/sin^2t 1 + cos^2t (cos^2t+sin^2t) / sin^2t=1/sin^2t 1 + cos^2t/sin^2t=1/sin^2t (cos^2t+sin^2t) / sin^2t = 1/sin^2t 1/sin^2t = 1/sin^2t 1=1 тождество доказано.