Доказать, что число 3^9+9^3 делится на 14

Найдём последнею цифру число 3^9. Число 3 возводя в степень будет оканчиваться через четыре числа на одну и ту же цифру.

Пример:

3^1=3 3^2=9 3^3=27 3^4=81 3^5=24 3 через четыре возведённых последовательно числа будет повторяться последняя цифра 3. Значит, 3^9 степень 9 делим на 4. 9:4=2 и остаток 1; 9=4*2+1. Дальше возводим число 3 в степень 1. 3^1=3 (т. к. остаток 1 при делении 9 на 4), следовательно число 3^9 оканчивается на 3. (этот приём используется если большая степень, чтобы не возводить число в степень типа 3^236)

9 можно возвести в 3 степень, или доказать что через 3 последовательно возведённых числа будут оканчиваться цифрой 9

Пример:

9^1=9 9^2=81 9^3=72 9, значит степень 3:3=1 (без остатка), следовательно 9 не возводим ни в какую степень, значит число 9^3 оканчивается на 9 (хотя в принципе можно тупо посчитать 9^3)

Дальше складываем два окончания чисел. Значит 9+3=12, т. е. сумма 3^9+9^3 оканчивается на 12.

Дальше рассмотрим число 14, достаточно взять число 4.

Признак делимости чисел на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4. Например:

124 (24 : 4 = 6);

103 456 (56 : 4 = 14).

т. е. 12:4, а значит и всё число делится на 14, т. к. последние цифры делятся на 4