найдите наименьшее значение выражения (2 х+y+3) ^2 + (3x-2y+8) ^2 и значения х и у, при которых оно достигается

f (x, y) = (2 х+y+3) ^2 + (3x-2y+8) ^2

Найдем частные производные

df/dx=2 (2x+y+3) * 2+2 (3x-2y+8) * 3=8x+4y+12+18x-12y+48=26x-8y+60

df/dy=2 (2x+y+3) * 1+2 (3x-2y+8) * (-2) = 4x+2y+6-12x+8y-32=-8x+10y-26

И приравняем их к нулю

26x-8y+60=0

-8x+10y-26=0

Первое уравнение умножим на 10, а второе на 8

260x-80y+600=0

-64x+80x-208=0

Сложим оба уравнения

196x+392=0

x=2

Определим y

26x-8y+60=0 = >26*2-8y+60=0 = >8y=8 = >y=1

Точка М (x; y) = M (2; 1) - Стационарная

Найдем вторые производные

A=d^2xdx^2=26

B=d^2x/dxdy=-8

C=d^2y/dy^2=10

Дискриминант = AC-B^2=260-64=196>0

То есть Дискриминант >0 и А>0, значит точка М (2; 1) - точка минимума

В этой точке функция f (x; y) принимает значение

f (x, y) = (2 х+y+3) ^2 + (3x-2y+8) ^2 = (2*2+1+3) ^2 + (3*2-2*1+8) ^2=8^2 + (12) ^2=64+144=208