ассматривается линейная функция у = ах+Ь.

При каких значениях а и b ее график:

а) проходит через начало координат;

б) проходит через начало координат и точку М ( - 1; 3);

в) параллелен графику функции у = Зх + 5;

г) отсекает на осях координат равные отрезки;

д) является биссектрисой координатного угла третьей четверти;

е) проходит через точки М (3; 8) и N (4; 8);

ж) проходит через точки К (3; 5) и N ( - 3; 7);

з) проходит только через те точки, координаты которых имеют один знак;

и) не проходит через точки, обе координаты которых положительны?

а) Ясно, что если график некоторой линейной функции проходит через начало координат, то это прямая пропорциональность, задаваемая формулой y = ax. Значит, b = 0, а a ≠0. если a = 0, то получим функцию y = 0, совпадающую с осью ox.

б) Мы видим, что раз прямая должна проходить через начало отсчёта, то это прямая пропорциональность, формула которой y = ax. b = 0 явно. А коэффициент a найду из равенста, подставив координаты точки M в формулу:

3 = - a

a = - 3

в) Если график данной функции параллелен графику функции y = 3x+5, то это означает, что угловой коэффициент a у них должны быть равными, а b должны быть различными. Значит, a = 3, b ≠5

пункт и

Рассмотрим сначала случай, когда у данной функции b=0, то есть это - прямая пропорциональность. Мы знаем, что обе координаты положительны только для точек, расположенных в 1 четверти. Следовательно, данная прямая не может проходить через неё. Отсюда следует, что она не может проходить через 3 четверть. начит, прямая проходит через 2 и 4 четверть, то есть, образует с прямой ox тупой угол (с положительным направлением). значит, a<0, b=0. При этом, a может быть равно 0, так как в таком случае мы рассматриваем функцию y = x, которая может проходить через точки вида (x; 0), а 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Теперь рассмотрю случай, когда b ≠ 0. Понятно, что прямая не будет проходить через первую четверть лишь в том случае, если график образует с положительным направлением оси ox тупой угол, то есть, если a<0. При такой ориентации прямой ясно, что прямая пересечёт oy лишь в отрицательной ординате. значит, b < 0

Значит, прямая не проходит через положительные координаты при a≤o, b≤0

пункт е.

раз прямая проходит через эти точки. то их координаты должны одновременно удовлетворять формуле y = ax + b

Теперь подставлю эти координаты в эту формулу и составлю систему уравнений:

3a + b = 8

4a + b = 8

Решу её методом сложения:

-3a-b = - 8 a = 0

4a + b = 8 b = 8

То есть, это прямая y = 8

пункт ж

подставим опять координаты в формулу, и составим систему уравнений:

3a + b = 5 2b = 12 b = 6

-3a + b = 7 3a+b = 5 a = - 1/3

Значит, это прямая y = - 1/3x + 6

пункт д

Эту задачу можно решить различными способами. Я предлагаю следующий. Поскольку данная прямая является биссектрисой координатного угла, то она проходит исключительно через начало координат, то есть это прямая пропорциональность. y = ax. Значит, b=0

Теперь мы знаем. что координатный угол равен 90°, так как оси перпендикулярны друг другу. Биссектриса составляет с положительным направлением оси OX угол 45° (по свойству биссектрисы). Так как прямая пропорциональность проходит через 3 четверть, то она проходит и через 1 четверть. Мы узнали, что угол между прямой и положительным направлением оси OX равен 45 градусам. a - угловой коэффикиент, он равен тангенсу данного угла, значит a = tg 45° = 1.

Поэтому, речь здесь идёт прямой y=x