Три окружности, радиусы которых равны 2,3 и10, попарно касаются внешним образом. найти радиус окружности вписаной в треугольник вершинами которого являются центры этих трех окружностей.

Найдём через площадь. Стороны этого треугольник равны 5 (2+3),12 (10+2),13 (10+3) (мы складываем радиусы, чтобы получить длину сторон треугольника, складываем мы их, т. к. окружности касаются друг друга). Площадь треугольника (он прямоугольный) равна:

1/2*a*b (a, b - катеты) = 30=1/2*r * (a+b+c) = 15r, значит r=2.