При каких целых значениях n выражение (n^3+5n^2+8n+17) / (n^2+2n+2) является целым числом?

Умножим знаменатель дроби на 5: 5 * (n^2+2n+2) = 5n^2+10n+10. Преобразуем числитель дроби: n^3+5n^2+8n+17 = n^3+5n^2+10n-2n+10+7 = 5n^2+10n+10+n^3-2n+7 = 5 * (n^2+2n+2) + n^3-2n+7. Отсюда видно, что для того чтобы исходная дробь была целым числом должно выполняться условие n^3-2n+7 = k * (n^2+2n+2), где k - целое. Но, это невозможно ни при каких n. При n=0 получаем 7/2 - дробное число. Заметим, что n^3-2n+7 и n^2+2n+2 имеют разную четность, поэтому если n = 2k, где k - целое, n^3-2n+7 = 8k^3-4k+7 является нечетным числом, тогда как n^2+2n+2 = 4k^2+4k+2 число четное. Наоборот, если n = 2k+1, где k - целое, n^3-2n+7 = (2k+1) ^3-2 (2k+1) + 7=8k^3+12k^2+6k+1-4k-2+7 = 8k^3+12k^2+2k+6 четное число, а n^2+2n+2 = (2k+1) ^2+2 (2k+1) + 2 = 4k^2+4k+1+4k+2+2=4k^2+8k+5 число нечетное. А такие числа не могут делиться друг на друга нацело. Т. о. n^3-2n+7 не делится нацело на n^2+2n+2 ни при каких целых n.

Ответ: Ни при каких целых n.