При каком значении а сумма квадратов корней уравнения x²-ax+a-1=0 будет наименьшей. внимание, это параметр!

Пусть х1, х2 - корни данного квадратного уравнения, тогда

по теореме Виета

x1+x2=a

x1x2=a-1

(x1) ^2 + (x2) ^2 = (x1+x2) ^2-2x1x2

(x1) ^2 + (x2) ^2=a^2-2 (a-1) = a^2-2a+2 = (a-1) ^2+1

(a-1) ^2>=0, причем достигает наименьшего значения когда а-1=0, т. е при а=1

а значит сумма квадратов корней уравнения x²-ax+a-1=0 будет наименьшей при а=1

Согласно теореме Виета

Х1 + Х2 = А

Х1 * Х2 = А - 1

Тогда

Х1² + Х2² = Х1² + 2 * Х1 * Х2 + Х2² - 2 * Х1 * Х2 = (Х1 + Х2) ² - 2 * Х1 * Х2 =

А² - 2 * (А - 1) = А² - 2 * А + 2 = (А - 1) ² + 1

Итак, сумма квадратов корней уравнения минимальна при А = 1 и равна 1

Проверка.

При А = 1 уравнение принимает вид Х² - Х = 0 Его корни Х1 = 0 и Х2 = 1