При каких значениях m уравнение:

4x^3+4x^2+mx=0

имеет два корня?

4x³+4x²+mx=0

х (4x²+4x+m) = 0

Один корень всегда равен 0, т. е. х1=0.

Уравнение будет иметь 2 корня, если

1) один корень уравнения 4x²+4x+m=0 равен 0, а второй не равен 0.

т. е. по теореме Виета m=0. В этом случае x²+x=0, т. е. х (х+1) = 0, т. е. х2=-1≠0.

2) оба корня уравнения 4x²+4x+m=0 совпадают и отличны от 0, т. е. D/4=4-4m=0, значит m=1. В этом случае 4x²+4x+1=0, т. е. (2 х+1) ²=0, т. е. х2=-1/2≠0. Итак, ответ при m=0 и при m=1.