Найти площадь фигуры ограниченной линиями у=6 х*х + 12 х+9, у=9, у = 6 х+9

Постройте графики этих трех функций.

Они пересекаются в точках - 2, - 1, 0

Получили фигуру, ограниченную этими графиками

Можно ее разбить на 2 фигуры по линии x = - 1, вычислить площади этих двух фигур, затем сложить, и получите искомую площадь.

Для этого необходими вычислить 2 интеграла:

1) интеграл с пределами от - 2 до - 1 [ 9 - (6x^2 + 12x + 9) ]dx =

= интеграл с пределами от - 2 до - 1 [-6x^2 - 12x]dx =

= - 6 * (x^3) / 3 - 12 * (x^2) / 2 = - 2x^3 - 6x^2

подставим пределы интегрирования, получим:

-2 * (-1) ^3 - 6 * (-1) ^2 - [-2 * (-2) ^3 - 6 * (-2) ^2] = 2 - 6 - 16 + 24 = 4

2) интеграл с пределами от - 1 до 0 [ 9 - (6x + 9) ]dx =

= интеграл с пределами от - 1 до 0 [-6x]dx =

= - 6 * (x^2) / 2 = - 3*x^2

подставим пределы интегрирования, получим:

-3*0^2 - [-3 * (-1) ^2] = 0 + 3 = 3

Следовательно, площадь всей фигуры равна 4 + 3 = 7