4. На доске записано число 111 ...11 (99 единиц). Двое играют в следующую игру. Игроки ходят по очереди, причем за ход разрешается либо записать нуль вместо одной из единиц (кроме первой и последней), либо стереть один из нулей. Проигрывает тот, после хода которого число будет делиться на 11. Кто выиграет при правильной игре?

Во-первых, признак делимости на 11.

Чтобы проверить, делится ли число на 11, нужно сложить отдельно цифры на нечетных местах и на четных. А потом вычесть из большего меньшее.

Если разность равна 0 или будет делиться на 11, то и число делится на 11.

Во-вторых, у нас число из 99 единиц, всего нечетное количество знаков.

На нечетных местах стоит 50 единиц и на четных местах 49 единиц.

Никто из игроков не должен допустить, чтобы получилось число из четного числа 1 без 0, потому что оно делится на 11.

В-третьих, проанализируем саму игру.

Первым ходом нельзя стереть 0, потому что нулей нет.

Можно только заменить 1 на 0. Если первый игрок заменит нечетную 1 на 0, то получится число, в котором 49 нечетных 1 и 49 четных 1.

Оно делится на 11 и он сразу проиграл. Значит, он заменит четную 1 на 0.

Получится 50 нечетных 1 и 48 четных.

Если теперь второй игрок сотрет этот 0, получится число из 98 единиц, которое делится на 11. Значит, второй тоже заменит какую-то 1 на 0.

Если он заменит нечетную, то получится 49 нечетных и 48 четных.

А если он заменит четную, то получится 50 нечетных и 47 четных.

В обоих случаях он не проиграет.

Дальше трудно анализировать, думаю, что им обоим выгодно не стирать нули, а заменять единицы на нули.

В конце концов они заменят все 97 внутренних единиц (последнюю замену сделал первый игрок). Первую и последнюю 1 менять нельзя, поэтому остается только стереть 0. Это сделает второй игрок.

Получится число 1000 ... 0001, в котором всего 98 цифр, то есть первая

1 на нечетном месте, а последняя на четном.

Число делится на 11, поэтому второй игрок проиграл.