При каких значениях Р вершин парабол у = - 2 (в квадрате) + 2 Рх + 3 и у=х (в квадрате) - 6 Рх + Р располагаются по разные стороны оси х.

Ветви первой параболы направлены вниз, т. к. коэффициент при х в квадрате отрицательный (равен - 2).

Ветви первой параболы направлены вверх, т. к. коэффициент при х в квадрате положительный (равен 1).

Чтобы вершины парабол были расположены по разные стороны от оси х, надо, чтобы ординаты их были разных знаков, т. е. одна положительна, одна-отрицательна.

1) находим абсциссы вершин парабол:

хв1=-2 р/-4=р/2

хв2=6 р/2=3 р

2) находим ординаты вершин парабол:

ув1=-2 (р/2) ^2 + 2p*p/2+3=p^2/2 + 3 > 0 для любого р из R

ув2 = (3p) ^2 - 6p*3p + p = - 9p^2+p=-9p (p-1/9) <0

при р принадлежащем объединению промежутков ( - бескон.; 0) и

(1/9; + бескон.)

Ответ: объединение промежутков ( - бескон.; 0) и (1/9; + бескон.)