1. Из точки N (-10; -69) к параболе y=x^2 проведены касательные. Найти их уравнения.

2. На отрезке [ π; 1,5π ] задана функция f (x) = 2*sin^2x + √3*sin2x. К ее графику проведена касательная, параллельная прямой y=4x+1. Найдите координаты точки касания.

y=x^2

y'=2x

уравнение касательной

(у-y0) / (x-x0) = 2x1

точку касания найдем так

(x1^2-y0) / (х1-x0) = 2x1

(x1^2-y0) = 2 (х1-x0) x1x1^2-y0=2 х1^2-2x0x1 х1^2-2x0x1+y0=0 х1^2+20x1-69=0

x1=3 или x1=-23

уравнение касательной

(у+69) / (x+10) = 6 или (у+69) / (x+10) = - 46

у=6 (x+10) - 69 или у=-46 (x+10) - 69

у=6x-9 или у=-46x-529 - это ответ

2.

На отрезке [ π; 1,5π ] задана функция f (x) = 2*sin^2x + √3*sin2x. К ее

графику проведена касательная, параллельная прямой y=4x+1. Найдите

координаты точки касания.

f (x) = 2*sin^2x + √3*sin2x

f' = 2*2*sinx*cosx + 2*√3*cos2x=2 * (sin2x + √3*cos2x) = 4 * (sin2x*1/2 + √3/2*cos2x) =

4 * (sin (2x+pi/3)) = 4

sin (2x+pi/3) = 1

(2x+pi/3) = pi/2+2pi*k

2x = pi/6+2pi*k

x = pi/12+pi*k

на участке [ π; 1,5π ] x = pi/12+pi = 13*pi/12

f (x=13*pi/12) = 2*sin^2 (13*pi/12) + √3*sin (2*13*pi/12) = 1

ответ (13*pi/12; 1)

y=x^2

y'=2x

уравнение касательной

(у-y0) / (x-x0) = 2x1

точку касания найдем так

(x1^2-y0) / (х1-x0) = 2x1

(x1^2-y0) = 2 (х1-x0) x1x1^2-y0=2 х1^2-2x0x1 х1^2-2x0x1+y0=0 х1^2+20x1-69=0

x1=3 или x1=-23

уравнение касательной

(у+69) / (x+10) = 6 или (у+69) / (x+10) = - 46

у=6 (x+10) - 69 или у=-46 (x+10) - 69

у=6x-9 или у=-46x-529 - это ответ

2.

На отрезке [ π; 1,5π ] задана функция f (x) = 2*sin^2x + √3*sin2x. К ее

графику проведена касательная, параллельная прямой y=4x+1. Найдите

координаты точки касания.

f (x) = 2*sin^2x + √3*sin2x

f' = 2*2*sinx*cosx + 2*√3*cos2x=2 * (sin2x + √3*cos2x) = 4 * (sin2x*1/2 + √3/2*cos2x) =

4 * (sin (2x+pi/3)) = 4

sin (2x+pi/3) = 1

(2x+pi/3) = pi/2+2pi*k

2x = pi/6+2pi*k

x = pi/12+pi*k

на участке [ π; 1,5π ] x = pi/12+pi = 13*pi/12

f (x=13*pi/12) = 2*sin^2 (13*pi/12) + √3*sin (2*13*pi/12) = 1

ответ (13*pi/12; 1)