Определите промежутки монотонности функции

у=2 х^3-3x^2-36x+40

1 Вычислим производную функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + a - 3

y' = 6x^2 - 6x - 36

Приравняем к нулю и поделим на 6

x^2 - x - 6 = 0

Находим корни этого уравнения с помощью теоремы Виета:

x1 + x2 = 1

x1 * x2 = - 6

=> x1 = 3; x2 = - 2

Ветви параболы y = x^2 - x - 6 направлены вверх, следовательно

функция y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + a - 3

при x 3 возрастает

при - 2 < x < 3 убывает

Найдём значения функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x

при x = - 2 и x = 3

Если x = - 2, то y = - 16 - 12 + 72 = 44

Если x = 3, то y = 54 - 27 - 108 = - 81

=> график функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x - 44 будет касаться оси абсцисс в точке x = - 2;

пересечёт ось абсцисс в точке x > 3

Значит уравнение 2x^3 - 3x^2 - 36x - 44 = 0 будет иметь 2 действительных корня.

=> график функции y = 2x^3 - 3x^2 - 36x + 81 будет касаться оси абсцисс в точке x = 3;

пересечёт ось абсцисс в точке x < - 2

Значит уравнение 2x^3 - 3x^2 - 36x + 81 = 0 будет иметь 2 действительных корня.

В первом случае a - 3 = - 44 = > a1 = - 41

Во втором случае a - 3 = 81 = > a2 = 84

В итоге получается, что в уравнении 2x^3 - 3x^2 - 36x + a - 3 = 0 при a = - 41 или a = 84 будут 2 действительных корня