При каких значениях а корни многочлена ax^2 + (2a+1) x+a+1 относятся как 1:2?

Приравняв этот многочлен к 0, получим квадратное уравнение. Сумма его корней x1+x2 = - (2*a+1) / a, а их произведение x1*x2 = (a+1) / a. Пусть x1/x2=1/2, тогда x2=2*x1. Отсюда получаем систему уравнений:

3*x1 = - (2*a+1) / a

2*x1² = (a+1) / a

Из первого уравнения находим x1 = - (2*a+1) / (3*a), тогда

x1² = (4*a²+4*a+1) / (9*a²), а 2*x1² = (8*a²+8*a+2) / (9*a²). Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем уравнение

(8*a²+8*a+2) / (9*a²) = (a+1) / a, или a * (8*a²+8*a+2) = 9*a² * (a+1), или

8*a³+8*a²+2*a=9*a³+9*a², или a³+a²-2*a=a * (a²+a-2) = 0. Одним из решений является a=0, но это решение не годится, т. к. при a=0 исходное уравнение является линейным, а не квадратным и потому имеет лишь 1 корень. Решая уравнение

a²+a-2=0, находим a=-2 и a=1. Ответ: при a=-2 и при a=1.