Найти точки экстремума функции

y=2x^3-20 х+1

Напомним основные свойства степени. Пусть а > 0, b > 0, n, m - любые действительные числа. Тогда

1) an am = an+m

2) an am = a n-m

3) (an) m = anm

4) (ab) n = an bn

5) (ab) n = an bn

6) an > 0

7) an > 1, если a > 1, n > 0

8) an 1, n < m

9) an > am, если 0< a < 1, n < m

В практике часто используются функции вида y = ax, где a - заданное положительное число, x - переменная. Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени - заданное число. Определение. Показательной функцией называется функция вида y = ax, где а - заданное число, a > 0, a≠1 Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции - множество всех действительных чисел.

Это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции - множество всех положительных чисел.

Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0, a≠1, не имеет корней, если b≤0, и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 < a < 1.

Это следует из свойств степени (8) и (9)

Построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 < a 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.

Если х 0.

Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх. График функции у = ax при 0 < a < 1 также проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Ох.

Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.

Если х < 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

Показательные уравненияРассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0, a≠1, х - неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, a≠1 равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. Решить уравнение 23x • 3x = 576

Так как 23x = (23) x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде 8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2.

Ответ х = 2 Решить уравнение 3 х + 1 - 2 • 3x - 2 = 25

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3 х - 2, получаем 3 х - 2 (33 - 2) = 25, 3 х - 2 • 25 = 25,

откуда 3 х - 2 = 1, x - 2 = 0, x = 2

Ответ х = 2 Решить уравнение 3 х = 7 х

Так как 7x ≠0, то уравнение можно записать в виде 3x 7x = 1, откуда (37) x = 1, х = 0

Ответ х = 0 Решить уравнение 9 х - 4 • 3 х - 45 = 0

Заменой 3 х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 - 4t - 45 = 0. Решая это уравнение, находим его корни: t1 = 9, t2 = - 5, откуда 3 х = 9, 3 х = - 5.

Уравнение 3 х = 9 имеет корень х = 2, а уравнение 3 х = - 5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ х = 2 Решить уравнение 3 • 2 х + 1 + 2 • 5x - 2 = 5 х + 2 х - 2

Запишем уравнение в виде

3 • 2 х + 1 - 2x - 2 = 5 х - 2 • 5 х - 2, откуда

2 х - 2 (3 • 23 - 1) = 5 х - 2 (5 2 - 2)

2 х - 2 • 23 = 5 х - 2• 23

(25) x-2 = 1

x - 2 = 0

Ответ х = 2 Решить уравнение 3|х - 1| = 3|х + 3|

Так как 3 > 0, 3≠1, то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|

Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х - 1) 2 = (х + 3) 2, откуда

х2 - 2 х + 1 = х2 + 6 х + 9, 8x = - 8, х = - 1

Проверка показывает, что х = - 1 - корень исходного уравнения.

Ответ х = - 1