Докажите, что при любых a и b хотя бы одно из уравнений x^2-2ax+ab=0 и x^2-2bx+ab=0 имеет решение.

Нужно выделять в обоих полные квадраты. Первое уравнение записывается в виде: (х-а) ^2 = a^2 - a*b = a * (a-b) Второе: (х-b) ^2 = b^2 - a*b = b * (b-a) Для того, чтобы эти уравнения имели решения, нужно, чтобы их правые части были неотрицательны. Ну и рассматривай все возможные варианты:a=b; a > b, a > 0, b > 0; a > b, a > 0, b b, a < 0, b <0; a 0, b> 0; a < b; a 0; a < b. a < 0, b < 0. Элементарная проверка показывает, что во всех этих случаях правая часть хотя бы одного из уравнений неотрицательна, т. е. хотя бы одно из уравнений имеет решение.