Имеется уравнение 243x^4-108x^3+1=0, так вот, хотелось бы узнать, можно ли решать его вынесением за скобу x^3? x^3 (243x-108) = - 1, если нет, то почему?

Можно. Только что это дает?

Обозначим 3 х=у

3 у^4-4y^3+1=0

y=1 сразу видно корень.

3 у^4-3y^3-y^3+1=0

(у-1) (3y^3 - (y^2+y+1)) = 0

3y^3-y^2-y-1=0

y=1 корень и этого уравнения

3y^3-3y-y^2+2y-1=0

3y (y-1) (y+1) - (y-1) ^2=0

3y (y+1) - y+1=0

3y^2+3y-y+1=0

3y^2+2y+1=0

y^2+2/3y=-1/3

(y+1/3) ^2=-1/3+1/9=-2/9

У этого уравнения нет решений.

Стало быть, корень единственный у=1

3 х=1

х=1/3

Ответ: х=1/3