Коля задумал четыре числа и выписал на доске пять из шести их попарных сумм. Это оказались числа: 17, 19, 20, 24, 26. Найдите шестую сумму (перечислите все возможности и объясните, почему других вариантов нет).

Обозначим задуманные 4 числа через a, b, c и d и положим a ≤ b ≤ c ≤ d. Сумма всех шести попарных сумм будет равна a + b + a + c + a + d + b + c + b + d + c + d = 3a + 3b + 3c + 3d = 3 (a + b + c + d). Поскольку на доске было выписано только 5 попарных сумм, то их сумма будет на одну попарную сумму меньше. Пусть, для определенности это сумма a + b. Тогда сумма пяти попарных сумм будет равна 3 (a + b + c + d) - (a + b) = 3 (c + d) + 2 (a + b) = 17 + 19 + 20 + 24 + 26 = 106. Рассмотрим остатки от деления данных чисел на 3. Это остатки 0, 1 и 2. Отсюда видно, что только число 24, а также суммы 17 + 19, 19 + 20, 26 + 19, 19 + 20 + 24, 19 + 24 + 26, 17 + 19 + 24 и 17 + 20 + 26 будут кратными 3. Пусть вначале 3 (c + d) = 24, тогда c + d = 24/3 = 8 и 2 (a + b) = 106 - 24 = 82, откуда a + b = 82/2 = 41. Обоих сумм нет в нашем списке, а это невозможно, поскольку у нас не хватает лишь одной попарной суммы. Пусть теперь 3 (c + d) = 19 + 20 = 39. Тогда c + d = 39/3 = 13 и 2 (a + b) = 106 - 39 = 67, откуда a + b = 67/2 = 33,5, что невозможно. Пусть 3 (c + d) = 26 + 19 = 45, тогда c + d = 45/3 = 15, а 2 (a + b) = 106 - 45 = 61, откуда a + b = 61/2 = 30,5, что также невозможно. Пусть теперь 3 (c + d) = 17 + 19 = 36. Отсюда c + d = 36/3 = 12 и 2 (a + b) = 106 - 36 = 70, откуда a + b = 70/2 = 35. Получили две попарные суммы 12 и 35, которых нет в списке попарных сумм. Такое также невозможно, поскольку у нас в списке отсутствует лишь одна попарная сумма. Теперь примем 3 (c + d) = 19 + 20 + 24 = 63, отсюда c + d = 63/3 = 21. Тогда 2 (a + b) = 106 - 63 = 43 и a + b = 432 = 21,5, что невозможно. Пусть 3 (c + d) = 19 + 24 + 26 = 69. Тогда c + d = 69/3 = 23, а 2 (a + b) = 106 - 69 = 37, откуда a + b = 37/2 = 18,5, что также невозможно. Рассмотрим сумму 3 (c + d) = 17 + 20 + 26 = 63, отсюда c + d = 63/3 = 21 и 2 (a + b) = 106 - 63 = 43, откуда a + b = 43/2 = 21,5, что невозможно. Пусть, наконец, 3 (c + d) = 17 + 19 + 24 = 60, тогда c + d = 60/3 = 20. Эта сумма имеется у нас в списке. В свою очередь 2 (a + b) = 106 - 60 = 46, откуда a + b = 46/2 = 23. Эта попарная сумма у нас отсутствует. Теперь легко получаем оставшиеся попарные суммы. a + b = 23, c + d = 20. Отсюда a + b + c + d = 23 + 20 = 43. Тогда (a + c) + (b + d) = 43. Замечаем, что одно из чисел a или b нечетное, тогда как c и d либо оба четные, либо оба нечетные. Положим a + c = 17, b + d = 26. Тогда c и d у нас оба четные, так же, как и b. Далее из равенства a + b + c + d = 23 + 20 = 43 следует, что (a + d) + (b + c) = 43, откуда a + d = 19, b + c = 24. Т. о. получили все попарные суммы. Шестой отсутствующей попарной суммой является сумма a + b = 23 и это единственный возможный вариант из рассмотренных.

Ответ: 23.