Решите уравнение 4 log3 (1-25/3 х+10) = 3 log393+25/х-5) + 11

Логарифм единицы. loga1=0 Логарифм единицы равен нулю (а>0, a≠1). Примеры. Вычислить: 1) log71=0, 2) lg1=0, 3) ln1=0, так как 70=1. так как 100=1. так как е0=1. 4) 5 2log 51 = 5 2∙0 = 50=1. 5) 4 3lg1 = 4 3∙0 = 40=1. 6) 8 5ln1 = 8 5∙0 = 80=1. e 3+5lg1 = e 3+5∙0 = e3. 10 6ln1-2 = 10 6∙0-2 = 10-2=0,01. 3 5lg1+4 = 3 5∙0+4 = 34=81. Решить уравнение. 1) log2 (x+4) = log81; 2) log3 (x-1) + 5log181=log12 (5∙0,2); log2 (x+4) = 0; log3 (x-1) + 5∙0=log121; x+4=20; log3 (x-1) = 0; x+4=1; x-1=30; x=1-4; x-1=1; x=-3. x=2. 3) lg (2x+1) - 7log21=ln1; lg (2x+1) - 7∙0=0; lg (2x+1) = 0; 2x+1=100; 2x+1=1; 2x=0; x=0. 11.4.4. Натуральный логарифм Логарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом. ln7=loge7, ln7 - натуральный логарифм числа 7. Примеры. Вычислить, используя определение логарифма. 1) lne². По определению натуральный логарифм числа e² - это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить число е². Очевидно, что это число 2. lne²=2. 2) ln (1/e). По определению натуральный логарифм числа 1/е - это показатель степени, в которую нужно возвести число е, чтобы получить 1/е. Очевидно, что это число - 1, так как е-1=1/е. ln (1/e) = - 1. 3) lne3+lne4=3+4=7. 4) lne-ln (1/e2) = 1 - (-2) = 1+2=3. Вычислить, применив основное логарифмическое тождество: и формулу возведения степени в степень: (am) n=amn = (an) m. 1) eln24=24. 2) e2ln11 = (eln11) 2=112=121. 3) e-ln20 = (eln20) - 1=20-1=1/20=0,05. 4) (e4) ln5 = (eln5) 4=54=625. Упростить, применив основное логарифмическое тождество: формулу возведения степени в степень: (am) n=amn = (an) m; формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n и формулу возведения в степень произведения: (a∙b) n=an∙bn. 1) eln4+2=eln4∙e2=4∙e2=4e2. 2) e1+ln3=e1∙eln3=e∙3=3e. 3) (e4+ln5) 2 = (e4∙eln5) 2 = (e4∙5) 2=e4∙2∙52=e8∙25=25e8. 4) (eln2+3) 4 = (eln2∙e3) 4 = (2∙e3) 4=24∙e3∙4=16e12. Упростить, применив основное логарифмическое тождество: формулу возведения степени в степень: (am) n=amn = (an) m; формулу частного степеней с одинаковыми основаниями: am:an=am-n и формулу возведения в степень произведения: (a∙b) n=an∙bn. 1) e2-ln3=e2:eln3=e2:3=e2/3. 2) e1-ln5=e1:eln5=e:5=e/5=0,2e. 3) (e5-ln10) 3 = (e5:eln10) 3 = (e5:10) 3 = (0,1e5) 3=0,13∙e5∙3=0,001e15. 4) (e3-ln2) 4 = (e3:eln2) 4 = (e3:2) 4 = (0,5e3) 4 = (0,5) 4∙ (e3) 4=0,0625e12. 11.4.3. Десятичный логарифм Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву "о" в написании слова "log". lg7=log107, lg7 - десятичный логарифм числа 7. Примеры. Вычислить:lg10; lg100; lg1000; lg0,1; lg0,01; lg0,001. 1) lg10=1, так как 101=10. 2) lg100=2, так как102=100. 3) lg1000=3, так как 103=1000. 4) lg0,1=-1, так как 10-1=1/10=0,1. 5) lg0,01=-2, так как 10-2=1/102=1/100=0,01. 6) lg0,001=-3, так как 10-3=1/103=1/1000=0,001. Найти значение выражения: 10lg8; 10lg4+10lg3,5; 105lg2; 100lg3; 10lg5+2; 10lg60-1. Используем: основное логарифмическое тождество: (см. предыдущий урок 11.4.2. "Примеры на основное логарифмическое тождество"здесь) формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n, формулу частного степеней с одинаковыми основаниями: am:an=am - n 1) 10lg8=8 2) 10lg4+10lg3,5=4+3,5=7,5. 3) 105lg2 = (10lg2) 5=25=32. 4) 100lg3 = (102) lg3 = (10lg3) 2=32=9. 5) 10lg5+2=10lg5∙102=5∙100=500. 6) 10lg60-1=10lg60:101=60:10=6. Решить уравнение. 1) lgx=10lg30-1. Упростим правую часть равенства как в предыдущих примерах. lgx=10lg30:101; lgx=30:10; lgx=3; x=103; x=1000. 2) lg (x+3) = 2. x+3=102; x+3=100; x=100-3; x=97. 3) lg (x+5) = - 1. x+5=10-1; x+5=0,1; x=0,1-5; x=-4,9. 11.4.2. Примеры на основное логарифмическое тождество Это основное логарифмическое тождество. Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм - это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b. Примеры. Вычислить: При решении используем формулу возведения степени в степень: (am) n=amn = (an) m и основное логарифмическое тождество. Найти значение выражения: Используем формулу произведения степеней с одинаковыми основаниями: am∙an=am+n и основное логарифмическое тождество. Найти значение выражения: Используем формулу частного степеней с одинаковыми основаниями: am:an=am - n и основное логарифмическое тождество. 11.4.1. Определение логарифма Логарифмом числа b по основанию а (logab) называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. logab=n, если an=b. Примеры: 1) log28=3, т. к. 23=8; 2) log5 (1/25) = - 2, т. к. 5-2=1/52=1/25; 3) log71=0, т. к. 70=1. Вычислить: 1) log464+log525. Используем значения степеней: 43=64, 52=25 и определение логарифма. log464+log525=3+2=5. 2) log2log381. Используем значения степеней: 34=81, 22=4 и определение логарифма. log2log381=log24=2. 3) log5log9log2512. Используем значения степеней: 29=512, 50=1 и определение логарифма. log5log9log2512=log5log99=log51=0. Решить уравнение. 1) log7x=2. По определению логарифма составим равенство: x=72, отсюда х=49. 2) log3 (x-5) = 2. По определению логарифма: х-5=32; х-5=9; х=9+5; х=14. 3) |log6 (x+4) |=2. Освободимся от знака модуля. или log6 (x+4) = 2; x+4=62; x+4=36; x=36-4; x=32.