Помогите с решением:

y''+y=e^x

Найдем общее решение однородного уравнения

y''+y'=0

Характеристическое уравнение

λ²+λ=0

λ1=0 λ2=-1

y=C1+C2*e^ (-x)

Найдем частное решение неоднородного уравнения

Неоднородности e^ (-x) соответствует λ=-1 корень первой кратности.

Будем искать решение в виде y = (Ax+B) * e^ (-x)

y' = (A-Ax-B) * e^ (-x)

y'' = (Ax+B-2A) * e^ (-x)

Подставим в уравнение

(Ax+B-2A+A-Ax-B) * e^ (-x) = e^ (-x)

-A=1

A=-1; B любое. Положим B=0

Общее решение имеет вид

y=C1+C2*e^ (-x) - x*e^ (-x)

y'=-C2*e^ (-x) + x*e^ (-x) - e^ (-x)

Подставим начальные условия

y (0) = C1+C2=0

y' (0) = - C2-1=-1

C2=0; C1=0

Ответ y=-x*e^ (-x)