Докажите, что уравнение

(х-а) (х-б) + (х-б) (х-с) + (х-а) (х-с) = 0

всегда имеет действительные корни

Если раскрыть скобки, то получаем квадратное уравнение

3 х²-х (a+b+b+c+c+a) + (ab+bc+ac) = 0

3x²-2 (a+b+c) x + (ab+bc+ac) = 0

Тогда D/4 = (a+b+c) ²-3 (ab+bc+ac) = a²+b²+c²-ab-bc-ac=

= ((a-b) ² + (b-c) ² + (a-c) ²) / 2≥0, т. е. уравнение имеет действительные корни.