докажите, что a+b+c=0, то (a+b) (b+c) (c+a) = - abc

Можно, например, использовать непрерывность функции

f (x) = (x-a) (x-b) + (x-a) (x-c) + (x-b) (x-c)

и исследовать её поведение.

а) при x→±∞: y→±∞

б) в силу симметрии функции относительно параметров a, b, c без ограничения общности можно считать, что a≤b≤c

f (x=a) = (a-b) (a-c)

f (x=b) = (b-a) (b-c)

f (x=c) = (c-a) (c-b)

б1) пусть сначала все числа a, b, c различны: a
f (x=a) > 0

f (x=b) < 0

f (x=c) > 0

Значит, f (x) меняет знак трижды и, следовательно, имеет как минимум три корня: на интервалах (-∞, a), (a, b), (b, c).

б2) если хотя бы два числа из тройки (a, b, c) совпадают, то хотя бы одно из чисел a, b, c будет корнем уравнения f (x) = 0.