при каком значении k уравнение (k-1) 4^x-4*2^x + (k+2) = 0 имеет один или более корней?

Рассмотрим сначала случай (k - 1) = 0 k = 1. Тогда уравнение примет вид 2^x = 3/4 и имеет один корень. Пусть k не равно 1.

Сделаем замену переменной: у = 2^х. Тогда уравнение перепишется в виде (k - 1) * y^2 - 4y + (k + 2) = 0. Найдем четверть дискриминанта:

D/4 = 4 - (k - 1) (k + 2) = - k^2 - k + 6.

Если уравнение имеет один или более корней, то дискриминант должен быть неотрицательным. Имеем неравенство - k^2 - k + 6 > = 0, отсюда - 3 < = k < = 2.

Находим корни:

y1 = (2 + √ (-k^2 - k + 6)) / (k - 1);

y2 = (2 - √ (-k^2 - k + 6)) / (k - 1).

Необходимо, чтобы хотя бы один из корней был положительным, иначе уравнение у = 2^x не имеет корней. Имеем два неравенства:

1. 2 + √ (-k^2 - k + 6)) / (k - 1) > 0;

2. 2 - √ (-k^2 - k + 6)) / (k - 1) > 0.

Решение первого очевидно: 1 < k < = 2.

Со вторым придется повозиться и разбить его на две системы:

1. 0 < √ (-k^2 - k + 6) 0.

2. √ (-k^2 - k + 6) > 2 и k - 1 < 0.

Решение первой системы: - 3 < = k < - 2 и 1 < k < = 2.

Решение второй системы: - 2 < k < 1.

Решение неравенства - объединение двух промежутков. Значит ответ: - 3 < = k < - 2 и - 2 < k < = 2.