Докажите нервенство: а^4+2 а^3 в+2 ав^3+в^4> = 6 а^2 в^2; буду благодарин

a⁴+2a³b+2ab³+b⁴ ≥ 6a²b²

Перегруппируем члены:

a⁴+2ab * (a²+b²) + b⁴ - 6a²b² ≥ 0

(a²+b²) ²+2ab * (a²+b²) - 4a²b² ≥ 0

(a²+b²) * (a²+b²+2ab) - 4a²b² ≥ 0

(a²+b²) * (a+b) ²-4a²b² ≥ 0

(a²+b²) * (a+b) ² ≥ 4a²b²

Поскольку

(a-b) ² ≥ 0 = > a²+b² ≥ 2ab и

(a+b) ² = a²+2ab+b² ≥ 2ab, то

(a²+b²) * (a+b) ² ≥ 2ab*2ab ≥ 4a²b².