Докажите что выражение принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него переменных

преобразуем

(4x^2 - 4xy + y^2) - 4x + 2y+1 + y^2+2 = (2x - y) ^2 - 2 (2x-y) + 1 + y^2+2 = (2x-y-1) ^2 + y^2 + 2

все слагаемые больше или равны 0

(2x-y-1) ^2 > 0

y^2 > 0

2 >0

значит выражение принимает лишь положительные значения при любых значениях входящих в него переменных

решение:

(2x-y) ^2+y^2-2 (2x-y) + 3 = (2x-y) (2x-y-2) + y^2+3

ясно, что если произведение в скобках больше нуля, то и все выражение

больше нуля. Рассмотрим случай когда - это выражение меньше нуля

обозначим 2x-y за t.

Тогда при t=1 имеем мнимум равный - 1;

но y^2+3>1, следовательно и вся сумма будет больше нуля.

утвердение доказано.