Даны три приведённых квадратных трехчлена: P1 (x), P2 (x) и P3 (x). Докажите, что уравнение |P1 (x) | + |P2 (x) | = |P3 (x) | имеет не более восьми корней.

Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трёхчленов ± P1 ± P2 ± P3 с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трёхчлены, так как коэффициент при x2 нечётен. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения

|P1 (x) | + |P2 (x) | = |P3 (x) | содержатся среди корней четырёх квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.