X+2x + ... + 2012 х=-2-4 - ... - 4024

х+2x + ... + 2012 х = - 2-4 - ... - 4024

Слева и справа арифметическая прогрессия.

1) Найдём сумму слева: х+2x + ... + 2012 х.

а₁ = х - первый член прогрессии

an = 2012x - n-й член прогрессии

d = x - знаменатель прогрессии

an = a₁ + (n-1) d - формула n-ого члена прогрессии

Найдём количество членов n, подставив в формулу вместо а₁ и аn их значения.

x + (n-1) x = 2012x

n = 2012

А теперь по формуле Sn = (a₁+an) * n/2 найдём всю сумму слева.

S₂₀₁₂ = (x+2012x) * 2012/2 = 2013x * 2012/2 = 2013x*1006.

2) Найдём сумму справа: - 2 - 4 - ... - 4024

а₁ = - 2

an = - 4024

d = - 4 - (-2) = - 2

По формуле an = a₁ + (n-1) d найдём n.

-2 + (n-1) (-2) = - 4024

(n-1) (-2) = - 4022

n-1 = - 4022 : (-2)

n = 2011 + 1

n = 2012

A теперь по формуле Sn = (a₁+an) * n/2 найдём всю сумму справа.

S₂₀₁₂ = (-2-4024) * 2012/2 = (-4026) * 2012/2 = (-4026) * 1006

3) И, наконец, решаем основное уравнение:

2013x*1006 = - 4026*1006

2013x = - 4026

x = - 4026 : 2013

х = - 2

Ответ: х = - 2