1) Какие числа называются иррациональными числами?

2) Какие числа называются десятичными приближениями иррационального числа по недостатку и по избытку?

3) Докажите что√2 не является рациональным числом

4) Какие числа называются действительными числами?

5) Какое множество называется множеством действительных чисел?

6) Как обозначаются множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел? Изобразите их кругами Эйлера.

1) Иррациональные - это числа, которые нельзя выразить дробью a/b с целыми числителем и знаменателем.

2) Десятичные приближения по недостатку и по избытку - это десятичные дроби, между которыми заключено иррациональное число. Возьмём, например, √3~1,732. Его приближением до сотых долей по недостатку будет 1,73, а по избытку 1,74.

3) Классическое доказательство. Если √2 рационально, то его можно выразить несократимой дробью √2=a/b. Возведем все в квадрат. 2=a^2/b^2. То есть 2b^2=a^2. Теперь рассуждаем. Слева чётное число, значит a тоже чётное. Но чётный квадрат всегда делится на 4. Значит, b^2 тоже чётный. Но тогда а и b оба четные и дробь a/b можно сократить. Но мы условились, что дробь несократима. Противоречие. Значит, число √2 нельзя выразить дробью, то есть оно иррациональное.

4) Действительные - это все числа, и рациональные и иррациональные.

5) Действительные числа можно представить в виде точек на координатной прямой, причём это все точки на прямой.

6) Натуральные N, целые Z, рациональные Q, действительные R. Круги Эйлера нарисовать не могу, но могу объяснить. Действительные - самый большой круг, рациональные внутри, целые внутри рац-ных, натуральные внутри целых.