Найдите наименьшее значение выражения |y|+|3x-y|+|x+y-1|

Где х и у - произвольные действительные числа.

Представим выражение в виде |y| + |y - 3x| + |y - (1 - x) |.

Геометрический смысл модуля: |a - b| - расстояние между точками a и b на числовой прямой.

Пусть x - такой, при котором достигается минимум. Обозначим x1 < = x2 < = x3 - значения 0, 3x, 1 - x в порядке возрастания. Необходимо найти такой y, что сумма расстояний до трёх точек x1, x2, x3 минимальна. Я утверждаю, что минимум будет достигнут, если y = x2.

Действительно, пусть y > x3 > = x2. Сдвинем точку немного влево. Все расстояния уменьшатся, тогда сумма тоже уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x3.

Если x3 > = y > x2, тоже сдвинем точку немного левее. Сумма расстояний до точек x2 и x3 постоянна и равна x3 - x2, а расстояние до x1 уменьшится. Продолжаем двигать, пока y не сравняется с x2.

Рассуждая точно так же о движении справа от x2, получаем, что в точке x2 достигается минимум, причём этот минимум равен x3 - x1.

Итак, нам удалось избавиться от y. Нужно решать такую задачу:

Найти минимум выражения f (x) = max (0, 3x, 1 - x) - min (0, 3x, 1 - x).

Перебираем случаи.

1) 3x - максимум. Тогда 3x > = 0, 3x > = 1 - x.

Первое неравенство: x > = 0

Второе неравенство: 4x > = 1; x > = 1/4.

Итог: так будет при x > = 1/4.

а) 0 - минимум. 0 < = 1 - x, x < = 1. Так будет при x из отрезка [1/4, 1].

f (x) = 3x - 0 = 3x - возрастающая функция, минимум достигается в левом конце отрезка. min = f (1/4) = 3 * 1/4 = 3/4

б) 1 - x - минимум. Так будет при x > = 1.

f (x) = 3x - (1 - x) = 4x - 1 - возрастает, минимум достигается в x = 1, min = f (1) = 3.

2) 1 - x - максимум. (1 - x > = 3x, 1 - x > = 0. Тогда x < = 1/4)

а) 0 - минимум (0 < = 3x, всё это выполнено, если x в отрезке [0, 1/4])

f (x) = 1 - x - 0 = 1 - x - убывающая функция, минимум в правом конце отрезка.

min = f (1/4) = 1 - 1/4 = 3/4.

б) 3x - минимум (x < = 0).

f (x) = 1 - x - 3x = 1 - 4x - убывающая функция, минимум в правом конце отрезка.

min = f (0) = 1.

3) 0 - максимум. Ничего интересного не будет, два случая выше уже покрыли все возможные x.

Выбираем из четырёх значений наименьшее, это 3/4.

Ответ: 3/4