В геометрической прогрессии найдите наибольшее возможное значение первого члена, если сумма первых трех членов прогрессии равна 26, а b1+b3=20

b2=b1*q

b3=b1*q²

b1+b2+b3=b1 + (b1+q) + (b1+q²) = b1 (1+q+q²) = 26

b1+b3=b1 (1+q²) = 20

Система уравнений с 2-мя неизвестными

b1 (1+q+q²) = 26

b1 (1+q²) = 20

Вычесть

b1*q = 6

b1=6/q

(6/q) (1+q²) = 20

6q²-20q+6=0

D=400-144=256

q1 = ⅓

q2 = 3

b1₁=6/⅓=18

b1₂=6/3=2

Наибольшее значение 1-го члена = 18

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Sn = b₁ (q^n - 1) / (q - 1)

Для n = 3: S₃ = 26

S₃ = b₁ (q³ - 1) / (q - 1) = b₁ (q² + q + 1)

b₁ (q² + q + 1) = 26

Далее ...

b₃ = b₁·q²

по условию:b₃ + b₁ = 20, т. е.

b₁·q² + b₁ = 20

или

b₁ (q² + 1) = 20

Решим систему уравнений

b₁ = 20 / (q² + 1)

20 (q² + q + 1) / (q² + 1) = 26

20 (q² + q + 1) = 26 (q² + 1)

20q² + 20q + 20 = 26q² + 26

6q² - 20q + 6 = 0

3q² - 10q + 3 = 0

D = 100 - 36 = 64

√D = 8

q₁ = (10 - 8) : 6 = 1/3

q₂ = (10 + 8) : 6 = 3

При q₁ = 1/3

b₁ = 20 / (1/9 + 1) = 18

При q₂ = 3

b₁ = 20 / (9 + 1) = 2

Ответ максимально возможное значение 1-го члена геометрической прогрессии

b₁ = 18