А) Докажите, что если натуральное число А представимо вы виде суммы двух квадратов, то 2 А также представимо в таком виде.

Б) Докажите обратное утверждение.

Пусть А=n^2+m^2, где m>=n, m э N, n э N

тогда 2A=2 (n^2+m^2) = 2n^2+2m^2=2m^2+2n^2+-2mn+2mn=

= (m^2-2mn+n^2) + (m^2+2mn+n^2) = (m-n) ^2 + (m+n) ^2

Обратно:

2A=n^2+m^2, где m>=n, m э N, n э N

тогда

A = (n^2+m^2) / 2 = (n^2+m^2) / 2+mn/2-mn/2 = (n^2/4-mn/2+m^2/4) + (m^2/4+mn/2+n^2/4) = (m/2-n/2) ^2 + (m/2+n/2) ^2

(заметим, что из равенства 2A=n^2+m^2 следует, что правая часть делится на 2, что в свою очередь означает, что числа m и n одинаковой четности, поэтому числа m/2-n/2 = (m-n) / 2 и m/2+n/2 = (m+n) / 2 целые неотрицательные)