Разложите на множители:

1. a) x^8+x^4-2

b) a^5-a^2-a-1

2. Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

3. Упростите выражение

(2+1) (2^2+1) (2^4+1) (2^8+1) (2^16+1) (2^32+1)

4. При каких натуральных значениях х и у верно равенство 3x+7y=23

1)

a) x^8+x^4-2 = (x^4+2) (x^4-1) = (x^4+2) (x-1) (x+1) (x^2+1)

b) a^5-a^2-a-1=a (a^4-1) - (a^2+1) = a (a^2-1) (a^2+1) - (a^2+1) = (a^2+1) (a^3-a-1)

2)

пусть натуральное число-а, тогда

(а^2-1) = (а-1) (а+1)

так как А не делится на 3, то всегда либо А-1, либо А+1 будет делится на три.

3) рассмотрим произведение первых двух скобок:

(2+1) (2^2+1) = 2^3+2^2+2+1, домножим на третью скобку

(2^3+2^2+2+1) (2^4+1) = 2^7+2^6+2^5+2^3+2^2+2^1

Заметим закономерность: произведение n скобок дает нам сумму степеней двойки, начиная с (2n-1)

то есть, для произведения всех наших скобок, их 6, справедливо равенство: 2^63+2^62+2^61 + ... + 2^2+2+1=2^64-1

4) натуральными называются целые неотрицательные числа=>

мы можем сделать ограничения на х и на у:

1<=x<=7 и 1<=y<=3

Потому что если х и у не будут в этих промежутках, тогда сумма превысит 23

Таким образом нам надо перебрать три варианта:

у=1=>х=16/3 не натуральное-не подходит

у=2=>x=3-подходит

у=3=>х=2/3 не натуральное-не подходит

Ответ (3; 2)

1. а) Х⁸+Х⁴-2 = (Х⁴+2) * (Х⁴-1) = (Х⁴+2) * (Х²+1) * (Х²-1) = (Х⁴+2) * (Х²+1) * (Х+1) * (Х-1)

б) А⁵-А²-А-1 = (А⁵-А) - (А²+1) = А * (А²-1) * (А²+1) - (А²+1) = (А²+1) * (А³-А-1)

2. А²-1 = (А-1) * (А+1)

Из трех последовательных чисел одно делится на 3. Поскольку А на 3 не делится, то делится либо А-1, либо А+1.

3. Если домножить на 1, точнее на 2 - 1, то получил последовательность разностей квадратов, в результате чего получаем 2⁶⁴-1.

4. Поскольку 3 * Х делится на 3, 7 при делении на 3 дает в остатке 1, а 23 дает в остатке 2, то Y = 2, следовательно, Х = 3