Найти значение z в четырехзначном числе xyzx, если это число равно (5z+1) ²

Имеем четырёхзначное число 1000*x + 100*y + 10*z + x = (5*z + 1) ^2

1001*x + 100*y + 10z = 25*z^2 + 10*z + 1

1001*x + 100*y - 1 = 25*z^2

Итак, 25*z^2 = 1001*x + 100*y - 1

Рассмотрим выражение (5*z + 1) ^2, оно д. б. больше 1000, т. к. число четырёхзначное: (5*z + 1) ^2 ≥ 1000, отсюда получаем, что

5*z + 1 ≥ 32 (корень из 1000 больше 31, но меньше 32).

Значит, z ≥ 31/5 или z ≥ 7 (зет целое, поэтому 6 исключаем в виду того, что оно д. б. больше 6,2) и z ≤ 9 (т. к. это цифра самая большая).

Пробуем подобрать.

z = 7; 25 * 7^2 = 1225 = 1001*x + 100*y - 1, или 1001*x + 100*y = 1226, что невозможно в целых числах.

z = 8; 25 * 8^2 = 1600 = 1001*x + 100*y - 1, или 1001*x + 100*y = 1601, что возможно при x = 1 и y = 6.

z = 9; 25 * 9^2 = 2025 = 1001*x + 100*y - 1, или 1001*x + 100*y = 2026, что невозможно в целых числах.

Итак, есть один вариант, где x = 1, y = 6, z = 8

Исходное четырёхзначное число было равно 1681.

Ответ: z = 8