3*9 (n) + 7*7 (2n) кратно 10 в скобках степень

3*9^n + 7*7^2n = 3 * (3^2) ^n + 7*7^2n = 3^3n + 7^3n. Докажем индукцией по n кратность исходного выражения 10. При n = 1 кратность подтверждается: 3^3 + 7^3 = 27 + 343 = 370 = 37*10. Допустим, что 3^3n + 7^3n кратно 10. Докажем, что для любого n оно кратно и при n + 1. Тогда 3^3 (n+1) + 7^3 (n+1) = 3^3n*3 + 7^3n*7 = (3+7) * (3^n+7^3n) - 3*7^3n - 7*3^3n = (3+7) * (3^3n+7^3n) - 3*7 (3^3 (n-1) + 7^3 (n-1)) = 10 * (3^3n+7^3n) - 21 * (3^3 (n-1) + 7^3 (n-1)). Первый член кратен 10, так же, как и второй, поскольку 3^3 (n-1) + 7^3 (n-1) кратно 10 по предположению индукции. Следовательно, исходное число 3*9^n + 7*7^2n кратно 10 при любом натуральном n.