Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений y - x^2 = a и x - y^2 = a имеет ровно два решения.

{y - x^2 = a

{x - y^2 = a

Вычтем из первого уравнения, второе, получим: (y-x) (y+x+1) = 0. Поэтому первоначальная система сводится к совокупности систем:

{y=x (1)

{y=x^2+a (2)

и

{y=-x-1 (3)

{y=x^2+a (4)

Из первой системы следует: x^2-x+a=0

D1=1-4a

Из второй системы следует: x^2+x+a+1=0

D2=1-4 (a+1) = 1-4a-4=-4a-3

Если D1>0 и D2<0, то первое уравнение имеет 2 решения, а второе ни одного (из определения дискреминанта)

Если D2=0; то - 4a-3=0

-4a=3

a=-3/4

Подставляем полученые значения в 1 систему:

x^2-x-3/4=0

4x^2-4x-3=0

D=16+48=64

x1 = (4+8) / 8=12/8=3/2

x2 = (4-8) / 8=-1/2

Подставим это значение в (1)

Получим: y1=3/2

y2=-1/2

найдем решения второй системы:

x^2+x-3/4+1=0

x^2+x+1/4=0

D=1-4*1/4=0

x=-1/2

то y = - 1/2

Так как, решения (-1/2; -1/2) - первой системы, и (-1/2; - 1/2) - второй системы совпадают, то a=-3/4 - войдет в ответ. (квадратная скобка)

Если D2>0, то очевдно, что к решениям первого уравнения добавляются два решения второго уравнения. Значит, система имеет 2 решения при 0<1-4a<=4

-1<-4a<=3

1/4>a>-3/4

Значит: a e [-3/4; 1/4)

Ответ: [-3/4; 1/4)