Докажите что 6^n+20n-1 делится на 25 для любого натурального n

Воспользуемся методом индукции:

1) При n=1: 6+20-1=25 - делится.

2) Пусть при n=k - делится.

3) Надо доказать, что при n=k+1 тоже делится. Подставляем вместо n k+1:

6^ (k+1) + 20 (k+1) - 1 =

6*6^k + 20k + 20 - 1 = (вычетом и прибавим 6^k)

6*6^k + 20k + 20 - 1 + 6^k - 6^k = (сгруппируем слагаемые следующим образом)

(6^k + 20k - 1) + (6*6^k + 20 - 6^k).

(6^k + 20k - 1) - делится на 25 по второму пункту. Осталось доказать, что (6*6^k + 20 - 6^k) тоже делится на 25.

6*6^k + 20 - 6^k = 6^k * (6 - 1) + 20 = 5 * 6^k + 20 = 5 * (6^k+4). Т. к. (6^k+4) делится на 5 для любого натурального k, то утверждение доказано.