К графику функции у=корень (х+2) проведена касательная, образующая с осями координат треугольник наименьшей площади. Найдите координаты точки касания.

D (y) = [-2; +∞) - область определения данной функции.

Cоставим уравнение касательной к кривой в точке z

y (z) = √ (z+2);

y' (x) = 1/2√ (x+2)

y' (z) = 1/2√ (z+2)

Уравнение

у-у (z) = y' (z) (x-z)

y-√ (z+2) = (x-z) / 2√ (z+2)

Найдем точки пересечения касательной с осями координат

При х=0 у=√ (z+2) - (z/2√ (z+2)) = (2z+4-z) / 2√ (z+2) = (z+4) / 2√ (z+2)

При у=0 x-z=-2 (z+2) ⇒x=-z-4

Треугольник, образуемый касательной с осями координат - прямоугольный, с катетами |-z-4| и | (z+4) / 2√ (z+2) |

Площадь прямоугольного треугольника находим по формуле как половину произведения катетов:

S (Δ) = (1/2) |-z-4|· (z+4) / 2√ (z+2) = (z+4) ²/4√ (z+2)

S' (z) = 2 (z+4) (3z+4) / 16 (z+2) √ (z+2)

S' (z) = 0

3z+4=0

z=-4/3

y (-4/3) = √ ((-4/3) + 2) = 1/√3

О т в е т. (-4/3; 1/√3)