Сколько решений имеет система уравнений х2+y2=а, xy=1 при различных параметрах а?

Начнем с того, что выражение x²+y²≥0 при любых x и y, значит отрицательные значения a мы не рассматриваем.

Первое уравнение системы:

x²+y²=a

это уравнение окружности с центром в начале координат. Значение a задает радиус окружности.

Второе уравнение системы:

xy=1

это гипербола y=1/x, лежащая в 1 и 3 координатных четвертях. Самые близкие к началу координат точки, принадлежащие этому графику - (1; 1)

и (-1; -1)

Рассмотрим три случая:

1)

a таково, что окружность проходит через точки (-1; -1) и (1; 1), следовательно система имеет 2 решения. Найдем a.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с катетами равными 1, гипотенуза=радиус=√ (1²+1²) = √2 ⇒ a=√2²=2

При a=2 система имеет 2 решения

2)

а таково, что окружность не пересекает гиперболу y=1/x. это произойдет в том случае, если радиус меньше двух.

При a∈[0; 2) система не имеет решений

3)

а таково, что окружность пересекает гиперболу в 4 точках. это произойдет, если радиус больше двух.

При a∈ (2; +∞) система имеет 4 решения

Графики для каждого случая приложены для наглядности.