Решить уравнение cos12x=cos6x+sin6x

sqrt-корень квадратный, ^-степень

расписываешь cos6x и sin6x как cos, sin половинного угла получается

cos12x=sqrt ((1+cos12x) / 2) + sqrt ((1-cos12x) / 2)

возводим обе части в квадрат получаем

cos (^2) (12x) = (1+cos12x+1-cos12x) / 2+sqrt ((1+cos12x) * (1-cos12x) / 4) упрощаем

cos (^2) 12x=1 + sqrt ((1+cos12x) * (1-cos12x) / 4)

переносим 1 влево и далее возводим обе части в квадрат получаем

(cos (^2) 12x-1) ^2 = (1^2-cos (^2) 12x) / 4

возводим левую часть в квадрат и переносим 4

влево тогда получается

4*cos (^4) 12x-8*cos (^2) 12x+4=1-cos (^2) 12x переносим все влево получается

4*cos (^4) 12x-7*cos (^2) 12x+3=0

пусть cos (^2) 12x=t; t>=0 и t<=1

подставляем в биквадратное уравнение

4*t (^2) - 7*t+3=0

находим дискриминант и корни

t1 = (7+1) / 8=8/8=1

t2 = (7-1) / 8=6/8=3/4

делаем обратную замену t на cos (^2) 12x

1) cos (^2) 12x=1

а) cos12x=-1 x=П/12+Пк/6

б) cos12x=1 x=Пк/6

2) cos (^2) 12x=3/4

а) cos12x=sqrt (3) / 2 x=П/72+Пк/6 x=-П/72+Пк/6

б) cos12x=-sqrt (3) / 2 x=5*П/72+Пк/6 x=-5*П/72+Пк/6

Ответ:

x1=П/12+Пк/6,

x2=Пк/6

x3=П/72+Пк/6

x4=-П/72+Пк/6

x5=5*П/72+Пк/6

x6=-5*П/72+Пк/6

где к принадлежит N