Укажите множество точек M (x, y), координаты x и yкоторых удовлетворяют соотношениям

Оба неравенства приводятся к каноническому виду (x - a) ^2 + (y - b) ^2 < = r^2, решение которого - внутренность (с границей) круга с центром в точке (a, b) и радиусом r.

x^2 + y^2 + 4x + 2y < = 11

(x^2 + 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) < = 11 + 4 + 1

(x + 2) ^2 + (y + 1) ^2 < = 16

(x + 2) ^2 + (y + 1) ^2 < = 4^2 - круг с центром (-2, - 1) и радиусом 4.

x^2 + y^2 - 8x - 14y < = - 29

(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 14y + 49) < = - 29 + 16 + 49

(x - 4) ^2 + (y - 7) ^2 < = 36

(x - 4) ^2 + (y - 7) ^2 < = 6^2 - круг с центром (4, 7) и радиусом 6.

Решение системы - все точки, которые одновременно принадлежат обоим кругам.

Расстояние между центрами кругов равно √ ((4 + 2) ^2 + (7 + 1) ^2) = 10 и равно сумме радиусов, поэтому круги касаются и искомое множество состоит из одной точки - точки касания окружностей, ограничивающих круги.

Вычитаем из уравнения первой окружности уравнение второй окружности:

(x^2 + y^2 + 4x + 2y) - (x^2 + y^2 - 8x - 14y) = 11 - (-29)

12x + 16y = 40

3x + 4y = 10

Кроме того, точка касания должна лежать на прямой, соединяющей центры. Угловой коэффициент этой прямой (7 - (-1)) / (4 - (-2)) = 8/6 = 4/3, поэтому уравнение имеет вид y - 7 = 4/3 (x - 4), или y = (4x + 5) / 3.

Подставляем y из второго уравнения в первое, получаем

3x + 4 (4x + 5) / 3 = 10

9x + 16x + 20 = 30

25x = 10

x = 0.4

y = (4 * 0.4 + 5) / 3 = 6.6 / 3 = 2.2

Ответ. Множество состоит из точки (0.4, 2.2).