вычислить площадь фигуры ограниченной линией y=3x^2, y=12x

Найдём пределы интегрирования. Это координты х точек пересечения графиков функций y1 = 3x² и y2=12x.

3x² = 12 х

3x² - 12 х = 0

3 х (х - 4) = 0

х₁ = 0 - это нижний предел.

х₂ = 4 - это верхний предел.

Поскольку а интервале х [0; 4] 12x ≥ 3x², т. е. график функции у2 проходит выше графика функции у1, то для нахождения площади будем вычислять интеграл от разности у2-у1

∫ (12x - 3 х²) dx = 6 х² - x³.

Подставим пределы:

S = (6·4² - 4³) - (6·0² - 0³) = 96 - 64 = 32

Площадь находим по формуле Ньютона-Лейбница. Для этого сначала найдем точки пересечения данных функций 3 х^2=12x

x^2=4x

x=0 или х=4

S = интеграл от 0 до 4 (12 х-3x^2) dx=6x^2-x^3=96-64=32 ед. кв