Найти все значения а при которых сумма квадратов корней уравнения х²-ах+а+7=0 равна 10

Нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета: х1+х2=а

х1*х2=свободный член, где х1 и х2 - корни уравнения квадратичного

х1^2+x2^2 = а2-2 (а+7)

По условию эта сумма квадратов равна 10, откуда получаем квадратичное уравнение а2-2 а-14=10, корнями которого являются числа 6 и - 4.

Нашли так. Вернемся к теореме Виета:

х1+х2=2

х1*х2=-24 ... Вышло два корня: 6, - 4.

При решении квадратичного уравнения нужно помнить, что дискриминант должен быть положительным либо равным 0.

а2-4 (а+7) больше либо равно 0.

При а = 6 дискриминант исходного уравнения отрицательный:

х2-6 х+13=0

D=36-52=-16, т. е. при а=6 - дискриминант отрицательный и корней уравнение не имеет

При а=-4:

х2+4 х+3=0

D=16=4*3=4-положительный, т. е. при а = - 4 положительный.

Т. Е. делаем вывод, что нам подходит а=-4

Решение:

а²-ах+а+7=0

Решим данное уравнение и найдём корни этого уравнения:

а²-ах + (а+7) = 0 это при пведённое квадратное уравнение, решаем из формулы решения квадратного уравнения x²+px+q=0 где х1,2=-p/2+-√ (p²/4-q)

х1,2=а/2+-√ (а²/4-а-7)

х1=а/2+√ (а²/4-а-7)

х2=а/2-√ (а²/4-а-7)

Возведём корни в квадрат и приравняем к 10 (согласно условия задачи)

[а/2+√ (а²/4-а-7) ]² + [a/2-√ (a²/4-a-7) ]²=10

[a²/4 + 2*a/2*√ (a²/4-a-7) + (a²/4-a-7) ] + [a²/4-2*a/2*√ (a²/4-a-7) + (a²/4-a-7) ]=10

a²/4 + a√ (a²/4-a-7) + a²/4-a-7+a²/4 - a√ (a²/4-a-7) + a²/4-a-7=10

4a²/4-2a-14=10

a²-2a-14=10

а²-2 а-14-10=0

а²-2 а-24=0

а1,2=1+-√ (1²+24) = 1+-√ (1+24) = 1+-√25=1+-5

а1=1+5=6

а2=1-5=-4

Ответ: При а=-4 и а=6 сумма квадратов корней данного уравнения равна 10