Докажите методом математической индукции:

1*8/4*7+2*11/7*10 + ... + (n * (3n+5)) / ((3n+1) * (3n+4)) = (n * (n+1)) / (3n+4)

При n=1, это верно, т. к. 1*8 / (4*7) = 1*2 / (3*1+4)

Пусть это верно при n=k.

Тогда нужно проверить, что сумма первых k+1 слагаемых будет равна (k+1) (k+2) / (3k+7). Действительно, эта сумма равна первым k слагаемым плюс (k+1) - ое, т. е. учитывая предположение индукции, она равна

k (k+1) / (3k+4) + (k+1) (3k+8) / ((3k+4) (3k+7)) = ((k+1) / (3k+4)) * (k + (3k+8) / (3k+7)) =

= ((k+1) / (3k+4)) * (3k^2+10k+8) / (3k+7).

Решая квадратное уравнение, получаем 3k^2+10k+8 = (3k+4) (k+2), откуда сумма первых k+1 слагаемых равна

((k+1) / (3k+4)) * ((3k+4) (k+2) / (3k+7)) = (k+1) (k+2) / (3k+7),

что и требовалось.