Задание:

При каких значениях многочлен x^4 + ax^3 - bx^2 + 3x - 9 делится на (x+3) ^2 без остатка.

x^2 - это икс в квадрате (для тех, кто не понял обозначение).

Дайте за что зацепится хоть)

P (x) делится на Q (x), если существует многочлен R (x) такой, что P (x) = Q (x) * R (x).

Если всё так, то по правилам дифференцирования P' (x) = Q' (x) R (x) + Q (x) R' (x).

Здесь P (x) = x^4 + ax^3 - bx^2 + 3x - 9, Q (x) = (x + 3) ^2.

Рассмотрим эти равенства при x = - 3. Поскольку Q (-3) = Q' (-3) = 0 и R (x) и R' (x) - полиномы, то P (-3) = P' (-3) = 0.

P (-3) = 81 - 27a - 9b - 9 - 9 = - 9 (3a + b - 7) = 0

P' (-3) = - 108 + 27a + 6b + 3 = 3 (9a + 2b - 35) = 0

9a + 2b = 35

3a + b = 7

Умножаем второе уравнение на 2 и вычитаем его из первого:

3a = 21

a = 7

b = 7 - 3a = - 14

P (x) = x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 3x - 9 = (x + 3) ^2 (x^2 + x - 1)