Докажите что уравнение (х-a) (х-b) + (x-a) (x-c) + (x-b) (x-c) = 0 имеет решение при любых действительных значениях а, b, c

Если среди a, b, c есть одинаковые, то ответ очевиден (если, скажем, a=b, то выражение обращается в ноль при x=a=b). Пусть они все разные. Обозначив функцию, стоящую в левой части уравнения, через f (x), сосчитаем

f (a) = (a-b) (a-c); f (b) = (b-a) (b-c); f (c) = (c-a) (c-b). Тогда

f (a) ·f (b) ·f (c) = - (a-b) ^2 (b-a) ^2 (c-a) ^2<0 ⇒ или все три перемножаемых числа отрицательны, или одно из них. Во Всяком случае, в какой-то точке наша функция отрицательна. А поскольку исследуемая функция квадратичная с положительным старшим коэффициентом, ее график - парабола с ветвями, смотрящими вверх, обязательно пересечется с осью OX.