При каких значениях параметра q один из корней уравнения 4 х квадрат - (3+2q) х + 2 = 0 в 8 раз меньше другого?

Задача сводится к теореме Виета.

То, что данное уравнение является квадратным, я думаю, не вызывает сомнений. Но нас смущает то, что при x² стоит 4, разделим почленно уравнение на неё (я буду писать по частям):

x² - (3+2q) / 4 * x + 0.5 = 0

Теперь воспользуемся теоремой Виета. Пусть x1 и x2 - корни. Тогда по теореме Виета, x1 + x2 = (3 + 2q) / 4, x1 * x2 = 0.5. Учитывая условие задачи, получаем, что x2/x1 = 8. Таким образом, мы пришли к системе уравнений:

x1 + x2 = (3 + 2q) / 4

x1 * x2 = 0.5

x2/x1 = 8

Теперь как решать будем систему. Система с тремя уравнениями с тремя переменными - она имеет решения. Решать по идее надо бы с помощью метода Гаусса, но здесь можно и проще - через пару минут напишу решение.

Решаем систему способом подстановки. Выразим из последнего уравнения x2:

x2 = 8x1

и подставим его во второе уравнение системы. Решим полученное уравнение и найдём x1:

8x1² = 1/2

x1² = 1/16

x1 = 1/4 или x1 = - 1/4

Теперь рассмотрим оба случая, когда x1 = 1/4 и когда x1 = - 1/4

Пусть x1 = 1/4, тогда последовательно находим x2 и q:

x2 = 8 * 1/4 = 2

(3 + 2q) / 4 = 2 + 1/4 = 9/4

Знаменатели равны, дроби равны, значит опускаем числители и приравниваем их:

3 + 2q = 9

2q = 6

q = 3

Первое значение параметра q мы нашли. Но надо проверить, дейсвительно q = 3 нам подходит. Сделаем это, корни мы тоже при этом значении параметра параллельно нашли, найдём отношение корней:

x1 = 1/4; x2 = 2

x2/x1 = 2 : 1/4 = 2 * 4 = 8 - да, q = 3 нам подходит.

Теперь рассмотрим ту ситуацию, когда x1 = - 1/4. Аналогично,

x2 = 8 * (-1/4) = - 2

(3 + 2q) / 4 = - 1/4 - 2 = - 9/4

3 + 2q = - 9

2q = - 12

q = - 6

Осуществим уже известную проверку, мало ли что. Корни при этом значении параметра мы уже нашли из системы, значит проверяем:

x1 = - 1/4; x2 = - 2

x2/x1 = 8 - это случай нам тоже подходит

Таким образом, при q = 3 и q = - 6 отношение корней данного уравнения равно 8. задача выполнена.