докажите, что не существует простого числа p, для которого числа p+5 и p+10 простые

Все простые числа - нечётные (кроме 2).

Значит, если р+5 - нечётное, то р - чётное,

и если р+10 - нечётное, то р - нечётное.

А одно и то же число (р) не может быть одновременно чётным и нечётным.