Решите уравнение: синус 2 х-12 * (синус х-косинус х) + 12=0

Sin2x - 12 (sinx - cosx) + 12 = 0

Пусть sinx - cosx = t,

преобразуем для sin2x

(sinx - cosx) ^2 = t^2

1 - sin2x = t^2

sin2x = 1 - t^2

Следовательно, у нас выходит новое квадратное уравнение относительно замены

Отрешаем его:

1 - t^2 - 12t + 12 = 0

- t^2 - 12t + 13 = 0 / : (-1)

t^2 + 12t - 13 = 0

D = 144 + 52 = 14^2

t1 = ( - 12 + 14) / 2 = 1

t2 = ( - 12 - 14) / 2 = - 13

Выполним обратную замену

1)

sinx - cosx = - 13

нет решений (пустое множ-во)

2)

sinx - cosx = 1

Возведём обе части уравнения в квадрат

Первые два слагаемых в сумме дают единицу

1-2sinx*cosx=1

2sinx*cosx=0

sinx*cosx=0

Теперь, произведение равно 0, когда один из множителей равен 0

Если sin x = 0, то из уравнения получаем cos x = - 1

Следовательно, x = pi + 2 pi * к

Если cos x = 0, то из уравнение получаем sin x = 1

Следовательно, x = pi/2 + 2 pi * к

Общее решение есть объединение этих двух решений

х = pi + 2 pi*k и х = pi/2 + * 2pi*k