Доказать, что выражение принимает только неотрицательные значения: х^2+2 х+у^2-4 у+5

Выделим полные квадраты:

x² + 2x + y² - 4y + 5 = x² + 2x + 1 + y² - 4y + 4 = (x + 1) ² + (y - 2) ².

(x + 1) ² ≥ 0 при любых x, (y - 2) ² ≥ 0 при любых y.

Значит, сумма двух квадратов принимает только неотрицательные значения, т. е.

(x + 1) ² + (y - 2) ² ≥ 0

при любых x и y.

х^2+2 х+у^2-4 у+5 = (x ²+2x+1) - 1 + (y²-4y+4) - 4+5 = (x+1) ² + (y-2) ²

при любом значении х и у квадраты неотрицательны, сумма неотрицательных-неотрицательна